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%第十二周习题

%9.1. 欧氏空间的定义与基本性质
%9.2. 标准正交基
%9.3. 同构
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%摘要 Week M Teaching Goal 
\newcommand{\MABSA}{欧氏空间的定义与基本性质}
\newcommand{\MABSAa}{理解欧氏空间的概念。}
\newcommand{\MABSAb}{证明欧氏空间中的柯西不等式。}
\newcommand{\MABSAc}{证明欧氏空间中的勾股定理。}
\newcommand{\MABSAd}{证明欧氏空间的度量矩阵是正定的。}

\newcommand{\MABSB}{标准正交基}
\newcommand{\MABSBa}{使用施密特正交化方法从一个基得到一个标准正交基。}
\newcommand{\MABSBb}{理解正交矩阵的概念。}
\newcommand{\MABSBc}{证明两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。}

\newcommand{\MABSC}{同构}
\newcommand{\MABSCa}{理解欧氏空间之间的同构映射的概念。}
\newcommand{\MABSCb}{构造两个欧氏空间之间的同构。}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\MTA}{
（定义1）
设 $V$ 是实数域上的线性空间。在$V$上的一个内积是指一个二元实值函数
$(\alpha,\beta)$, 满足对称性、线性、正定性。
带内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间。写出这些性质的具体内容。
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\MTAsol}{
{\color{red}解答：内积运算把两个向量变成一个实数。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\MTB}{
（例1）$V=\mathbb{R}^n$, 内积定义如下，验证这是一个欧氏空间的内积，
\begin{eqnarray*}
\alpha &=& (x_1,x_2,\cdots,x_n), \quad \\ 
\beta &=& (y_1,y_2,\cdots,y_n), \quad \\ 
(\alpha,\beta) &=& x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n. 
\end{eqnarray*}
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\MTBsol}{
{\color{red}解答：验证对称性、线性、正定性。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\MTC}{
（例2）$V=C[a,b]$ 为区间$[a,b]$上的实值连续函数全体组成的线性空间。
内积定义如下，验证这是一个欧氏空间的内积，
 $$(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx. $$
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\MTCsol}{
{\color{red}解答：验证对称性、线性、正定性。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\MTD}{
（定义2、3）欧氏空间$(V,(,))$中向量的长度和夹角分别定义为
$$
|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}, %\quad 
\theta = \angle(\alpha,\beta), %\quad 
\cos\theta = \frac{(\alpha,\beta)}{\sqrt{(\alpha,\alpha)}\sqrt{(\beta,\beta)}}, %\quad 
0\le\theta\le\pi. 
$$
举例说明这两个概念。
}

%\item % 4a.  
\newcommand{\MTDsol}{
{\color{red}解答：用平面向量和立体向量举例。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\MTE}{
证明欧氏空间的柯西不等式： $|(\alpha,\beta)|\le |\alpha||\beta|$. 
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\MTEsol}{
{\color{red}解答：构造二次函数 $f(t)=\lvert \alpha-t\beta \rvert^2 = (\alpha-t\beta, \alpha-t\beta)$. 

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\MTF}{
（定义4）如果两个向量 $\alpha,\beta$ 的内积为零，则称这两个向量垂直，也称为正交。
在 $\mathbb{R}^n$ 与 $C[a,b]$ 中举例说明相互垂直的两个向量。
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\MTFsol}{
{\color{red}解答：$C[0,2\pi]$ 中的 $\sin (nx),\cos(nx)$. 

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\MTG}{
证明欧氏空间的勾股定理：如果两个向量 $\alpha,\beta$ 互相垂直，那么
$|\alpha+\beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2. $
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\MTGsol}{
{\color{red}解答：根据向量长度的定义。垂直的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\MTH}{
设$V$是有限维欧氏空间。

(1) 写出内积在一组基下的度量矩阵的定义。

(2) 证明内积在不同的基下的度量矩阵之间是合同的。

(3) 证明度量矩阵是正定的。
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\MTHsol}{
{\color{red}解答：把一组基的向量两两算出内积，排列成一个矩阵。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\MTI}{
（定义6）$n$维欧氏空间$V$中的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$如果满足下述条件，

(1) 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关；

(2) 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性生成整个线性空间$V$；

(3) 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$两两相互垂直；

(4) 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的每个向量的长度都是1.

那么称这是一组标准正交基。写出$\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基。
}

%\item % 9a.  
\newcommand{\MTIsol}{
{\color{red}解答：这是直角坐标系的推广。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\MTJ}{
证明：欧氏空间的内积在标准正交基下的矩阵是单位矩阵。
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\MTJsol}{
{\color{red}解答：根据标准正交基的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\MTK}{
（定理1）有限维欧氏空间的任意一个正交向量组都能扩充成一个正交基。
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\MTKsol}{
{\color{red}解答：

取一个非零向量，垂直于已有的正交向量组生成的子空间。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\MTL}{
（定理2-施密特正交化过程）设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$n$维欧氏空间$V$的一组基。则$V$存在一组标准正交基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$使得
\begin{eqnarray*}
L(\alpha_1)&=&L(\eta_1), \\
L(\alpha_1,\alpha_2)&=&L(\eta_1,\eta_2), \\
\cdots && \cdots \\
L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)&=&L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n). 
\end{eqnarray*}
}

%\item % 12a.  
\newcommand{\MTLsol}{
{\color{red}解答：画图说明。以 $n=3$ 详细说明。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\MTM}{
（定义7）设$A$是$n$阶实数矩阵，如果$A^tA=E$, 那么称$A$是正交矩阵。举例说明。
}

%\item % 13a.  
\newcommand{\MTMsol}{
{\color{red}解答：写出所有二阶正交矩阵。 

正交矩阵的行向量组与列向量组的性质。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\MTN}{
（定义8）两个欧氏空间$V,W$称为是同构的，如果存在一个双射 $\sigma:V\to W$, 保持加法、数乘、内积这三种运算，即对任意$\alpha,\beta\in V$, 对任意$k\in\mathbb{R}$, 有
\begin{enumerate}
\item  $\sigma(\alpha+\beta) = \sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$.
\item  $\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$.
\item  $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)$.
\end{enumerate}
举例说明同构的两个欧氏空间。
}

%\item % 14a.  
\newcommand{\MTNsol}{
{\color{red}解答：写出 $\mathbb{R}^2$ 的一些不同的内积运算。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\MTO}{
（定理3）如果两个有限维欧氏空间的维数相同，那么这两个欧氏空间是同构的。
}

%\item % 15a.  
\newcommand{\MTOsol}{
{\color{red}解答：各取一组标准正交基。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\MTP}{
习题1. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶正定矩阵，设 
$\alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$, %\quad 
$\beta = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$, 
在 \( \mathbb{R}^n \) 中定义内积为 
$ (\alpha, \beta) = \alpha A \beta^T. $

(1) 证明：在这个定义之下，\( \mathbb{R}^n \) 成为一个欧氏空间；

(2) 求单位向量 $e_1 = (1, 0, \cdots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \cdots, 0)$, $\cdots$, $e_n = (0, 0, \cdots, 1)$ 的度量矩阵；

(3) 具体写出这个空间中的柯西-布尼亚科夫斯基不等式。
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\MTPsol}{
{\color{red}解答：验证对称性、线性、正定性。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\MTQ}{
习题2. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求 \( \alpha, \beta \) 之间的夹角 \( \langle \alpha, \beta \rangle \)（内积按通常定义）。设

(1) \( \alpha = (2, 1, 3, 2),\,\, \beta = (1, 2, -2, 1); \)

(2) \( \alpha = (1, 2, 2, 3),\,\, \beta = (3, 1, 5, 1); \)

(3) \( \alpha = (1, 1, 1, 2),\,\, \beta = (3, 1, -1, 0). \)
  
}

%\item % 17a.  
\newcommand{\MTQsol}{
{\color{red}解答：根据夹角的定义，
$$ \cos\theta = \frac{(\alpha,\beta)}{\sqrt{(\alpha,\alpha)}\sqrt{(\beta,\beta)}}, %\quad 
0\le\theta\le\pi. $$ 

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\MTR}{
习题3. \( d(\alpha, \beta) = \lvert\alpha - \beta\rvert \) 通常称为 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的距离，证明：
\( d(\alpha, \gamma) \leq d(\alpha, \beta) + d(\beta, \gamma). \)
}

%\item % 18a.  
\newcommand{\MTRsol}{
{\color{red}解答：根据内积的性质。柯西不等式。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\MTS}{
习题4. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中求一单位向量与 $(1, 1, -1, 1)$, $(1, -1, -1, 1)$, $(2, 1, 1, 3)$ 正交。
}

%\item % 19a.  
\newcommand{\MTSsol}{
{\color{red}解答：设所求向量为 $(x,y,z,w)$. 根据正交的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\MTT}{
习题5. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \) 是欧氏空间 \( V \) 的一组基，证明：

(1) 如果 \( \gamma \in V \) 使 \( (\gamma, \alpha_i) = 0 \ (i = 1, 2, \cdots, n) \)，那么 \( \gamma = 0; \)

(2) 如果 \( \gamma_1, \gamma_2 \in V \)，对任一 \( \alpha \in V \)，有 \( (\gamma_1, \alpha) = (\gamma_2, \alpha) \)，那么 \( \gamma_1 = \gamma_2. \)
}

%\item % 20a.  
\newcommand{\MTTsol}{
{\color{red}解答：一组基的定义。内积的性质。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\MTU}{
习题6. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 是三维欧氏空间中的一组标准正交基，
证明下述向量组也是一组标准正交基，
{\small 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1 = \frac{1}{3} (2 \varepsilon_1 + 2 \varepsilon_2 - \varepsilon_3), \quad 
\alpha_2 = \frac{1}{3} (2 \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + 2 \varepsilon_3), \quad  
\alpha_3 = \frac{1}{3} (\varepsilon_1 - 2 \varepsilon_2 - 2 \varepsilon_3). 
\end{eqnarray*}
}
}

%\item % 21a.  
\newcommand{\MTUsol}{
{\color{red}解答：验证标准正交基的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\MTV}{
习题7. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4, \varepsilon_5 \) 是 5 维欧氏空间 \( V \) 的一组标准正交基，设 
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_5, \\ %\quad 
\alpha_2 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_4, \\ %\quad \
\alpha_3 = 2\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3. 
\end{cases}
\]
求 \( V_1 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \) 的一组标准正交基。
}

%\item % 22a.  
\newcommand{\MTVsol}{
{\color{red}解答：施密特正交化方法。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\MTW}{
习题8. 求齐次线性方程组的解空间（作为 \( \mathbb{R}^5 \) 的子空间）的一组标准正交基，
\[
\begin{cases} 
2x_1 + x_2 - x_3 + x_4 - 3x_5 = 0, \\ 
x_1 + x_2 - x_3 + x_5 = 0. 
\end{cases}
\]

}

%\item % 23a.  
\newcommand{\MTWsol}{
{\color{red}解答：先求出一组基础解系。再用施密特正交化方法。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 24
\newcommand{\MTX}{
习题9. 在 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 中定义内积如下，求 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 的一组标准正交基（由基 \( 1, x, x^2, x^3 \) 出发作正交化）， $$ (f,g) = \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx. $$ 
}

%\item % 24a.  
\newcommand{\MTXsol}{
{\color{red}解答：施密特正交化方法。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 25
\newcommand{\MTY}{
习题11. (1) 证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的；

(2) 利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
}

%\item % 25a.  
\newcommand{\MTYsol}{
{\color{red}解答：度量矩阵的定义。根据正定矩阵都合同于单位矩阵。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 26
\newcommand{\MTZ}{
习题12. 设 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中的一组向量，而
\[
\Delta = 
\begin{pmatrix}
(\alpha_1, \alpha_1) & (\alpha_1, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_m) \\
(\alpha_2, \alpha_1) & (\alpha_2, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_2, \alpha_m) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_m, \alpha_1) & (\alpha_m, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_m, \alpha_m)
\end{pmatrix}. 
\]
证明：当且仅当 \(|\Delta| \neq 0\) 时，\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 线性无关。

}

%\item % 26a.  
\newcommand{\MTZsol}{
{\color{red}解答：先考察 $n=2$ 时两个向量成比例的特殊情况。再 $n=3$. 
}
}





